设正整数 $m,n$ 都能整除 $2016$，但 $mn$ 不能整除 $2016$．满足条件的有序数组 $(m,n)$ 的个数为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年清华大学THUSSAT测试题
【标注】
【答案】
C
【解析】
由于 $2016=2^5\cdot 3^2\cdot 7$，设$$m=2^{x_1}\cdot 3^{y_1}\cdot 7^{z_1},n=2^{x_2}\cdot 3^{y_2}\cdot 7^{z_2},$$其中 $x_1,x_2,y_1,y_2,z_1,z_2$ 均为整数，且 $0\leqslant x_1,x_2\leqslant 5$，$0\leqslant y_1,y_2\leqslant 2$，$0\leqslant z_1,z_2\leqslant 1$．根据题意，有 $x_1+x_2\geqslant 6$ 或 $y_1+y_2\geqslant 3$ 或 $z_1+z_2\geqslant 2$．考虑问题的反面，$(m,n)$ 的个数为\[[(5+1)(2+1)(1+1)]^2-21\cdot 6\cdot 3=918.\]
题目
答案
解析
备注
