显然线段 $EF$ 是定长的线段，长度为$$\dfrac 13\sqrt{2^2+2^2+1}=1.$$我们知道，在平面上对定长的线段所张的角为定角的点的轨迹是两段圆弧，即“等张角线”．如图1，在平面等张角线逐步扩张的过程中，对应的定角逐步减小（可以由正弦定理推得）．于是空间的等张角线如图2所示，由圆弧绕线段旋转而成，类似于“橄榄”到球体再到“南瓜”，它的任何一个轴截面都是平面等张角线．回到原问题，想象一个“橄榄”（从线段 $EF$ 开始）逐步膨胀（到球再到“南瓜），在膨胀过程中，空间等张角面对应的定角持续减小，因此第一次和长方体的表面相切时，切点就是使得 $\angle EGF$ 最大的 $G$ 点的位置．
接下来，由于长方体和空间等张角面均关于线段 $EF$ 的中点对称，于是空间等张角面会依次与长方体的三组对面相切，并且切点在长方体的某个对角面上，因此逐一分析对角面 $BDD_1B_1$、$A_1BCD_1$、$ABC_1D_1$ 的情形即可，如图3．如图4，对角面 $BDD_1B_1$ 对应的切点为上下底面的中心，所得的 $\angle EGF=90^\circ$，此时空间等张角面为球面；如图5，对角面 $A_1BCD_1$ 对应的切点分别在面对角线 $A_1B$ 和 $D_1C$ 上，所得 $\angle EGF<90^\circ$，此时空间等张角面是南瓜面；与此同时对角面 $ABC_1D_1$ 的边 $AD_1$ 和 $BC_1$ 上也有切点．综上，所求 $\angle EGF$ 的最大值为 $90^\circ$，当且仅当 $G$ 位于上下底面的中心时取得最大值．