先研究函数 $f(x)$，其导函数$$f'(x)=-\dfrac{1+x\ln x}{x(x-1)^2},$$又$$\left(1+x\ln x\right)'=1+\ln x,$$于是 $1+x\ln x$ 的最小值为$$1+\dfrac{1}{\rm e} \cdot\ln \dfrac 1{\rm e}>0,$$因此 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 和 $(1,+\infty)$ 上分别单调递减．根据题意，函数 $g(x)=\dfrac kx$ 的图象夹在 $f(x)$ 图象在 $x<1$ 和 $x>1$ 的两个部分之间，也即$$\begin{cases} \forall x\in (0,1),\dfrac kx>\dfrac{1+\ln x}{x-1},\\\forall x\in (1,+\infty ),\dfrac kx<\dfrac{1+\ln x}{x-1}, \end{cases}$$即$$\forall x>0\land x\ne 1,1+\ln x>\dfrac{k(x-1)}{x},$$也即$$\forall x>0\land x\ne 1,1+\ln x+\dfrac kx-k>0,$$设不等式左边函数为 $h(x)$，则 $h(x)$ 的导函数$$h'(x)=\dfrac{x-k}{x^2},$$于是当 $x=k$ 时，$h(x)$ 有最小值$$h(k)=\ln k-k+2>0,$$由$$\left(\ln k-k+2\right)'_k=\dfrac 1k-1\leqslant 0,$$于是 $h(k)$ 随着正整数 $k$ 的增大而减小，不难验证得知 $k$ 的最大值为 $3$．