设函数 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上存在导数 $f'(x)$，对任意 $x\in\mathbb{R}$，有 $f(-x)+f(x)=x^2$，且在 $(0,+\infty)$ 上 $f'(x)>x$．若 $f(2-a)-f(a)\geqslant 2-2a$，则实数 $a$ 的取值范围为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$(-\infty,-1]$
【解析】
由题意知$$\forall x>0,f'(x)-x>0,$$于是构造函数$$g(x)=f(x)-\dfrac 12x^2,$$由 $g'(x)>0$ 知 $g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增．
又由条件 $f(-x)+f(x)=x^2$ 知$$g(-x)+g(x)=0,$$即 $g(x)$ 为奇函数．
因为 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上存在导函数，所以 $g(x)$ 也在 $\mathbb{R}$ 上存在导函数，所以 $g(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，由 $f(2-a)-f(a)\geqslant 2-2a$ 知$$g(2-a)\geqslant g(a),$$从而有$$2-a\geqslant a,$$解得 $a\leqslant 1$．
又由条件 $f(-x)+f(x)=x^2$ 知$$g(-x)+g(x)=0,$$即 $g(x)$ 为奇函数．
因为 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上存在导函数，所以 $g(x)$ 也在 $\mathbb{R}$ 上存在导函数，所以 $g(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，由 $f(2-a)-f(a)\geqslant 2-2a$ 知$$g(2-a)\geqslant g(a),$$从而有$$2-a\geqslant a,$$解得 $a\leqslant 1$．
题目
答案
解析
备注
