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用 ${\rm card}(P)$ 表示集合 $P$ 中元素的个数．现有集合$$S=\left\{\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3},\cdots,\dfrac{1}{100} \right \},$$集合$$T=\left\{A\subseteq S \left | \right.{\rm card}(A)=2k,k\in{\mathbb N^*} \right\}.$$则 ${\rm card}(T)=$  ；对任意 $ A_i\in T $，将 $ A_i $ 中所有的元素相乘，乘积记为 $ m_i $，再将所有的 $ m_i $ 相加，其和记为 $ M $，则 $ M=$  ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    计数与概率
    >
    计数中的常用知识
    >
    二项式定理
  • 知识点
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    代数变形
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    代数式的形
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    对称与对偶
  • 知识点
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    函数
    >
    集合与映射
    >
    集合与集合的关系
【答案】
$2^{98}-1$；$\dfrac{4851}{200}$
【解析】
第一空 ${\mathrm C}_{99}^{2}+{\mathrm C}_{99}^{4}+\cdots+{\mathrm C}_{99}^{98}=2^{98}-1$．
第二空记$${\rm C}_n^0+{\rm C}_n^2+{\rm C}_n^4+\cdots=A,\\{\rm C}_n^1+{\rm C}_n^3+{\rm C}_n^5+\cdots=B,$$在二项展开式$$(1+x)^n={\rm C}_n^0+{\rm C}_n^1 x+{\rm C}_n^2 x^2+\cdots+{\rm C}_n^n x^n$$中，取 $x=1$，可得$$A+B=2^n,$$取 $x=-1$，可得$$A-B=0,$$故 $A=2^{n-1}$．
利用具有对偶性的两个代数式，从而解决问题．
记 $M$ 为集合 $S$ 的每个元素个数为偶数的子集中元素乘积的总和，记 $N$ 为集合 $S$ 的每个元素个数为奇数的子集中元素乘积的总和，则$$M+N=\left(1+\dfrac 1 2 \right)\left(1+\dfrac 1 3\right) \cdots \left(1+\dfrac 1 {100}\right)-1=\dfrac{99}2,$$而$$M-N=\left(1-\dfrac 1 2 \right)\left(1-\dfrac 1 3\right) \cdots \left(1-\dfrac 1 {100}\right)-1=-\dfrac{99}{100},$$所以$$M=\dfrac{4851}{200}.$$
题目 答案 解析 备注
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