已知 $a_1,a_2,\cdots,a_n (n\geqslant 3)$ 不是等差数列，且满足：
① $0\leqslant a_1<a_2<\cdots<a_n$；
② 对任意 $i,j (1\leqslant i\leqslant j\leqslant n)$，$a_j+a_i$ 与 $a_j-a_i$ 中至少有一个属于集合 $\left\{a_1,a_2,\cdots,a_n\right\}$．
则 $n$ 的值可能为 \((\qquad)\)
① $0\leqslant a_1<a_2<\cdots<a_n$；
② 对任意 $i,j (1\leqslant i\leqslant j\leqslant n)$，$a_j+a_i$ 与 $a_j-a_i$ 中至少有一个属于集合 $\left\{a_1,a_2,\cdots,a_n\right\}$．
则 $n$ 的值可能为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年清华大学THUSSAT测试题
【标注】
【答案】
B
【解析】
显然 $0\in A$．
对于选项A，设 $A=\{0,a_1,a_2\}$，则 $a_2-a_1=a_1$，于是 $0,a_1,a_2$ 成等差数列，不符合题意，因此选项A错误；
对于选项B，取 $A=\{0,1,3,4\}$ 即可，因此选项B正确；
对于选项C，设 $A=\{0,a_1,a_2,a_3,a_4\}$ 且 $a_1<a_2<a_3<a_4$，于是由\[0<a_4-a_3<a_4-a_2<a_4-a_1\]可得\[a_4-a_3=a_1,a_4-a_2=a_2,a_4-a_1=a_3,\]于是 $0,a_2,a_4$ 成等差数列，不符合题意，因此选项C错误；
对于选项D，设 $A=\{0,a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\}$ 且 $a_1<a_2<a_3<a_4<a_5$，与选项C的处理方式类似，可得\[a_1+a_4=a_2+a_3=a_5.\]考虑到 $a_3+a_4>a_5$，且 $a_2,a_3,a_4$ 不构成等差数列，于是 $a_4-a_3=a_1$，这样就有 $a_2=2a_1$，即 $0,a_1,a_2$ 构成等差数列，不符合题意，因此选项D错误．
对于选项A，设 $A=\{0,a_1,a_2\}$，则 $a_2-a_1=a_1$，于是 $0,a_1,a_2$ 成等差数列，不符合题意，因此选项A错误；
对于选项B，取 $A=\{0,1,3,4\}$ 即可，因此选项B正确；
对于选项C，设 $A=\{0,a_1,a_2,a_3,a_4\}$ 且 $a_1<a_2<a_3<a_4$，于是由\[0<a_4-a_3<a_4-a_2<a_4-a_1\]可得\[a_4-a_3=a_1,a_4-a_2=a_2,a_4-a_1=a_3,\]于是 $0,a_2,a_4$ 成等差数列，不符合题意，因此选项C错误；
对于选项D，设 $A=\{0,a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\}$ 且 $a_1<a_2<a_3<a_4<a_5$，与选项C的处理方式类似，可得\[a_1+a_4=a_2+a_3=a_5.\]考虑到 $a_3+a_4>a_5$，且 $a_2,a_3,a_4$ 不构成等差数列，于是 $a_4-a_3=a_1$，这样就有 $a_2=2a_1$，即 $0,a_1,a_2$ 构成等差数列，不符合题意，因此选项D错误．
题目
答案
解析
备注
