已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数，且当 $x\geqslant 0$ 时，$f(x)=\dfrac {x-2}{x+1}$，若对任意实数 $t\in\left[\dfrac 12,2\right ]$，都有 $f(t+a)-f(t-1)>0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$(-\infty,-3)\cup(0,+\infty)$
【解析】
函数 $f(x)$ 的解析式与奇偶性告诉我们，$f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增．
要想通过题中的函数不等式 $f(t+a)>f(t-1)$ 得到自变量的关系，需要希望将 $t+a,t-1$ 转移到同一个单调区间上，由偶函数的性质 $f(x)=f(|x|)$ 容易得到它等价于$$f(|t+a|)>f(|t-1|).$$从而知$$\forall t\in\left[\dfrac 12,2\right ],|t+a|>|t-1|.$$两边平方整理得$$\forall t\in\left[\dfrac 12,2\right ],2(a+1)t+a^2-1>0.$$当 $a=-1$ 时，不等式不成立；
当 $a\ne -1$ 时，转换主元，把该不等式看成关于 $t$ 的一元一次不等式，则此不等式对 $t\in\left[\dfrac 12,2\right ]$ 恒成立，只需要对两个端点成立即可，即$$\begin{cases}(a+1)+(a^2-1)>0,\\4(a+1)+(a^2-1)>0, \end{cases}$$解得 $a>0\lor a<-3$．
要想通过题中的函数不等式 $f(t+a)>f(t-1)$ 得到自变量的关系，需要希望将 $t+a,t-1$ 转移到同一个单调区间上，由偶函数的性质 $f(x)=f(|x|)$ 容易得到它等价于$$f(|t+a|)>f(|t-1|).$$从而知$$\forall t\in\left[\dfrac 12,2\right ],|t+a|>|t-1|.$$两边平方整理得$$\forall t\in\left[\dfrac 12,2\right ],2(a+1)t+a^2-1>0.$$当 $a=-1$ 时，不等式不成立；
当 $a\ne -1$ 时，转换主元，把该不等式看成关于 $t$ 的一元一次不等式，则此不等式对 $t\in\left[\dfrac 12,2\right ]$ 恒成立，只需要对两个端点成立即可，即$$\begin{cases}(a+1)+(a^2-1)>0,\\4(a+1)+(a^2-1)>0, \end{cases}$$解得 $a>0\lor a<-3$．
题目
答案
解析
备注
