记 $A_n$ 的元素个数为 $a_n$，取整函数 $[x]$ 本质上是一个分段函数，由整点为分段点，已知函数的定义域求值域时，只需要将定义域分成若干段，分别求值域，寻找到 $\{a_n\}$ 的规律即可；而已知函数值去求自变量的范围时，就需要先根据取整函数的特点对函数解析式进行转化，估计出 $x$ 的大致范围，确定 $[x]$ 的值后再解相关不等式了．
第一问当 $x\in\mathbb{N}^*$ 时，有$$f(1)=1,f(2)=4,f(n)=n^2.$$当 $x\in(0,1)$ 时，$f(x)=0$ 恒成立，所以$$A_1=\{0,1\},a_1=2.$$当 $x\in(1,2)$ 时，$[x]=1$，$f(x)=[x\cdot 1]=[x]=1$，所以$$A_2=\{0,1,4\},a_2=3.$$当 $x\in(n-1,n)$ 时，$[x]=n-1$，$$x[x]=(n-1)x\in(n^2-2n+1,n^2-n),$$所以此时 $f(x)$ 可以取到$$(n^2-n)-(n^2-2n+1)-1=n-2$$个不同的值，又 $f(n)=n^2$，所以$$a_n-a_{n-1}=n-2+1=n-1.$$由累加法可得$$a_n-a_1=(n-1)+(n-2)+\cdots+1,$$于是有 $a_n=\dfrac{n^2-n+4}{2}$．
第二问由 $[x]$ 的定义知$$x-1<[x]\leqslant x.$$于是有$$x[x]-1<f(x)=100\leqslant x[x],$$得到$$100\leqslant x[x]<101,$$$x>0$ 时，$y=x[x]$ 是一个关于 $x$ 的不减的函数，当 $x=11$ 时，$x[x]=121>101$，所以$$10\leqslant x<11,[x]=10.$$于是有$$f(x)=[10x]=100,$$故 $100\leqslant 10x<101$，解得 $10\leqslant x<\dfrac {101}{10}$．