已知 $F$ 是双曲线 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)$ 的焦点，$A$ 是相应的顶点，$P$ 是 $y$ 轴上的点，满足 $\angle FPA=\alpha$，则双曲线的离心率的最小值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{1+\sin\alpha}{1-\sin\alpha}$
【解析】
我们先研究：当 $F,A$ 固定时，点 $P$ 在 $y$ 轴上运动，$\angle FPA$ 何时取到最大值，我们有以下结论：当 $P$ 位于过 $A,F$ 且与 $y$ 轴相切的圆上，且为切点时，$\angle FPA$ 最大．
如图，记 $\triangle FAP$ 的外接圆圆心为 $Q$，记 $\angle FPA$ 最大时 $P$ 为 $P_0$，作 $QR\perp FA$ 于 $R$，则$$OP_0^{2}=OA\cdot OF=ac,$$所以$$QR=OP_{0}=\sqrt{ac}.$$所以$$\tan\angle FP_{0}A=\tan\angle FQR=\dfrac{\dfrac 12(c-a)}{\sqrt{ac}}\geqslant\tan\alpha.$$即$$\sqrt{e}-\sqrt{\dfrac{1}{e}}\geqslant 2\tan\alpha>0.$$两边平方化简得$$e+\dfrac{1}{e}\geqslant 4\tan^{2}\alpha+2=\dfrac{2+2\sin^2\alpha}{\cos^{2}\alpha}=\dfrac{(1+\sin\alpha)^{2}+(1-\sin\alpha)^{2}}{1-\sin^{2}\alpha}.$$所以$$e_{\min}=\dfrac{1+\sin\alpha}{1-\sin\alpha}.$$
如图，记 $\triangle FAP$ 的外接圆圆心为 $Q$，记 $\angle FPA$ 最大时 $P$ 为 $P_0$，作 $QR\perp FA$ 于 $R$，则$$OP_0^{2}=OA\cdot OF=ac,$$所以$$QR=OP_{0}=\sqrt{ac}.$$所以$$\tan\angle FP_{0}A=\tan\angle FQR=\dfrac{\dfrac 12(c-a)}{\sqrt{ac}}\geqslant\tan\alpha.$$即$$\sqrt{e}-\sqrt{\dfrac{1}{e}}\geqslant 2\tan\alpha>0.$$两边平方化简得$$e+\dfrac{1}{e}\geqslant 4\tan^{2}\alpha+2=\dfrac{2+2\sin^2\alpha}{\cos^{2}\alpha}=\dfrac{(1+\sin\alpha)^{2}+(1-\sin\alpha)^{2}}{1-\sin^{2}\alpha}.$$所以$$e_{\min}=\dfrac{1+\sin\alpha}{1-\sin\alpha}.$$
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