设 $z^{2017}-1=0$ 的全部复数根为 $z_1,z_2,\cdots,z_{2017}$，则 $\displaystyle \sum _{k=1}^{2017}\dfrac{1}{2-z_k}$ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年清华大学THUSSAT测试题
【标注】
【答案】
AD
【解析】
令 $x=\dfrac{1}{2-z}$，则 $z=2-\dfrac 1x$，于是由 $z^{2017}=1$ 可得\[(2x-1)^{2017}-x^{2017}=0,\]即\[(2^{2017}-1)x^{2017}-2017\cdot 2^{2016}\cdot x^{2016}+\cdots-1=0,\]于是\[x_1+x_2+\cdots+x_{2017}=\dfrac{2017\cdot 2^{2016}}{2^{2017}-1}>\dfrac{2017}2.\]另法 因为$$\displaystyle\sum _{i=1}^{2017}\dfrac{1}{2-z_i}
=\dfrac{\displaystyle\sum_{j=1}^{2017}\dfrac{\displaystyle\prod_{i=1}^{2017}\left(2-z_i\right)}{\left(2-z_j\right)}}{\displaystyle\prod_{i=1}^{2017}\left(2-z_i\right)}
,$$由韦达定理可得\[
\displaystyle\prod_{i=1}^{2017}\left(2-z_i\right)=2^{2017}-1,
\displaystyle\sum_{j=1}^{2017}\dfrac{\displaystyle\prod_{i=1}^{2017}\left(2-z_i\right)}{\left(2-z_j\right)}=2017\cdot 2^{2016},
\]所以\[
\displaystyle\sum _{i=1}^{2017}\dfrac{1}{2-z_i}=\dfrac{2017\cdot 2^{2016}}{2^{2017}-1}>\dfrac{2017}2.
\]
=\dfrac{\displaystyle\sum_{j=1}^{2017}\dfrac{\displaystyle\prod_{i=1}^{2017}\left(2-z_i\right)}{\left(2-z_j\right)}}{\displaystyle\prod_{i=1}^{2017}\left(2-z_i\right)}
,$$由韦达定理可得\[
\displaystyle\prod_{i=1}^{2017}\left(2-z_i\right)=2^{2017}-1,
\displaystyle\sum_{j=1}^{2017}\dfrac{\displaystyle\prod_{i=1}^{2017}\left(2-z_i\right)}{\left(2-z_j\right)}=2017\cdot 2^{2016},
\]所以\[
\displaystyle\sum _{i=1}^{2017}\dfrac{1}{2-z_i}=\dfrac{2017\cdot 2^{2016}}{2^{2017}-1}>\dfrac{2017}2.
\]
题目
答案
解析
备注
