已知 $A(0,1)$，$B(1,0)$，$C(t,0)$，点 $D$ 是直线 $AC$ 上的动点，若 $AD\leqslant 2 BD$ 恒成立，则最小正整数 $t$ 的值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$4$
【解析】
注意到当 $C$ 确定后，$\angle DAB$ 在 $D$ 运动的时候是不变的，因此可以考虑利用正弦定理来表达条件 $AD\leqslant 2BD$．
如图，在 $\triangle ABD$ 中，由正弦定理得$$\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{\sin \angle ABD}{\sin \angle BAD}\leqslant 2,$$而 $\angle ABD$ 的取值范围是 $(0,\pi)$，于是 $\dfrac{\sin \angle ABD}{\sin \angle BAD}$ 的最大值为 $\dfrac{1}{\sin \angle BAD}$，问题转化为$$\sin\angle BAD\geqslant \dfrac 12,$$也即 $\angle BAD\geqslant \dfrac{\pi}6$，于是$$t=OC\geqslant \tan\left(\dfrac{\pi}4+\dfrac{\pi}6\right)=2+\sqrt 3,$$因此 $t$ 的最小正整数取值为 $4$．（因为 $t$ 为正整数，所以只需要考虑 $C$ 点在 $B$ 点右边这种情形．）
如图，在 $\triangle ABD$ 中，由正弦定理得$$\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{\sin \angle ABD}{\sin \angle BAD}\leqslant 2,$$而 $\angle ABD$ 的取值范围是 $(0,\pi)$，于是 $\dfrac{\sin \angle ABD}{\sin \angle BAD}$ 的最大值为 $\dfrac{1}{\sin \angle BAD}$，问题转化为$$\sin\angle BAD\geqslant \dfrac 12,$$也即 $\angle BAD\geqslant \dfrac{\pi}6$，于是$$t=OC\geqslant \tan\left(\dfrac{\pi}4+\dfrac{\pi}6\right)=2+\sqrt 3,$$因此 $t$ 的最小正整数取值为 $4$．（因为 $t$ 为正整数，所以只需要考虑 $C$ 点在 $B$ 点右边这种情形．）
题目
答案
解析
备注
