在 $\triangle ABC$ 中，角 $A$ 是钝角，$AB=3$，$\overrightarrow {BC}\cdot\overrightarrow {BA}=12$，当角 $C$ 最大时，$\triangle ABC$ 的面积等于 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$3$
【解析】
记角 $A,B,C$ 所对的边长为 $a,b,c$，由题意知$$c=3,a\cos B=4.$$所以点 $C$ 在如下图的直线 $l$ 上（也可以直接通过向量的数量积得到向量 $\overrightarrow {BC}$ 在向量 $\overrightarrow {BA}$ 上的射影长为 $4$）：
问题转化成当点 $C$ 在直线 $l$ 上运动时，角 $C$ 何时有最大值？
考虑过点 $A,B$ 的圆，当圆与直线 $l$ 相切时，切点即为所求的点 $C$．
此时圆的半径为 $\dfrac 52$，半弦长为 $\dfrac 32$，所以圆心到弦 $AB$ 的距离为 $2$，这也是点 $C$ 到 $AB$ 的距离，从而所求面积为 $3$
问题转化成当点 $C$ 在直线 $l$ 上运动时，角 $C$ 何时有最大值？考虑过点 $A,B$ 的圆，当圆与直线 $l$ 相切时，切点即为所求的点 $C$．
此时圆的半径为 $\dfrac 52$，半弦长为 $\dfrac 32$，所以圆心到弦 $AB$ 的距离为 $2$，这也是点 $C$ 到 $AB$ 的距离，从而所求面积为 $3$
题目
答案
解析
备注
