已知 $T,M,N$ 是圆 $C:(x-1)^2+y^2=4$ 上的不同三点，且 $\overrightarrow{CT}=a\overrightarrow{CM}+b\overrightarrow{CN}$，其中 $a,b$ 均为正实数，则 $\dfrac{a^3+ab^2+2ab+b+1}{a}$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$(2,+\infty)$
【解析】
根据题意，设 $\overrightarrow{CP}=a\overrightarrow{CM}$，$\overrightarrow{CQ}=b\overrightarrow{CN}$，则 $a,b$ 满足的约束条件为 $a,b,1$ 构成三角形的三边长，如图所示．
设$$f(a,b)=\dfrac{a^3+ab^2+2ab+b+1}{a},$$则当 $a\to 1-$，$b\to 0+$ 时，$f(a,b)\to 2$．下面证明 $f(a,b)>2$，只需要证明$$a^2+b^2+2b+\dfrac{b+1}a>2.$$若 $a\geqslant 1$，因为 $\dfrac{b+1}a>1$，于是命题成立；
若 $0<a<1$，则$$LHS=(a+b)^2+2b(1-a)+\dfrac{b+1}a>2,$$命题也成立；
因此 $f(a,b)>2$．
又当 $a\to 0+$，$b\to 1-$ 时，$f(a,b)\to +\infty$，结合函数的连续性，可得所求的取值范围是 $(2,+\infty)$．
设$$f(a,b)=\dfrac{a^3+ab^2+2ab+b+1}{a},$$则当 $a\to 1-$，$b\to 0+$ 时，$f(a,b)\to 2$．下面证明 $f(a,b)>2$，只需要证明$$a^2+b^2+2b+\dfrac{b+1}a>2.$$若 $a\geqslant 1$，因为 $\dfrac{b+1}a>1$，于是命题成立；若 $0<a<1$，则$$LHS=(a+b)^2+2b(1-a)+\dfrac{b+1}a>2,$$命题也成立；
因此 $f(a,b)>2$．
又当 $a\to 0+$，$b\to 1-$ 时，$f(a,b)\to +\infty$，结合函数的连续性，可得所求的取值范围是 $(2,+\infty)$．
题目
答案
解析
备注
