如图，直角梯形 $ABCD$ 中，$AB\parallel CD$，$\angle DAB=90^\circ$，$AD=AB=4$，$CD=1$，动点 $P$ 在边 $BC$ 上，且满足 $\overrightarrow {AP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AD}$（$m,n$ 均为正实数），则 $\dfrac{1}{m}+\dfrac {1}{n}$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac 74+\sqrt 3$
【解析】
快速找到 $m,n$ 所满足的约束条件是解决问题的关键．根据题意，有$$\begin{split} \overrightarrow{AP}=&\lambda \overrightarrow{AB}+(1-\lambda)\overrightarrow{AC}\\=&\lambda\overrightarrow{AB}+(1-\lambda)\left(\overrightarrow{AD}+\dfrac 14\overrightarrow{AB}\right)\\=&\left(\dfrac 14+\dfrac 34\lambda\right)\overrightarrow{AB}+(1-\lambda)\overrightarrow{AD},\end{split} $$因此 $m,n$ 需要满足约束条件$$m+\dfrac 34n=1,$$因此$$\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}\geqslant \dfrac{\left(1+\frac{\sqrt 3}2\right)^2}{m+\frac 34n}=\dfrac 74+\sqrt 3,$$等号当 $m^2=\dfrac 34n^2$ 时取得．因此所求的最小值为 $\dfrac 74+\sqrt 3$．
题目
答案
解析
备注
