对正整数 $m,n$，设函数 $f(x,y)$ 满足\[f(m+1,n+1)=f(m,n)+f(m+1,n)+1,\]且 $f(m,1)=1$，$f(1,n)=n$，则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年清华大学THUSSAT测试题
【标注】
【答案】
BC
【解析】
根据题意，有\[\begin{split}f(1,n)&: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,\cdots,\\
f(2,n)&:1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,\cdots,\\
f(3,n)&:1,3,7,14,25,41,63,92,\cdots,\end{split}\]设 $a_n=f(2,n)$，$b_n=f(3,n)$，则有递推公式\begin{align*}
a_n&=n+a_{n-1},\\
b_n&=1+a_{n-1}+b_{n-1},
\end{align*}于是可得\begin{align*}
a_n&=\dfrac 12n(n+1),\\
b_n&=\dfrac 16n(n^2+5),
\end{align*}因此使得 $a_n\geqslant 100$ 的 $n$ 的最小值为 $14$；使得 $b_n\geqslant 2016$ 的 $n$ 的最小值为 $23$．
f(2,n)&:1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,\cdots,\\
f(3,n)&:1,3,7,14,25,41,63,92,\cdots,\end{split}\]设 $a_n=f(2,n)$，$b_n=f(3,n)$，则有递推公式\begin{align*}
a_n&=n+a_{n-1},\\
b_n&=1+a_{n-1}+b_{n-1},
\end{align*}于是可得\begin{align*}
a_n&=\dfrac 12n(n+1),\\
b_n&=\dfrac 16n(n^2+5),
\end{align*}因此使得 $a_n\geqslant 100$ 的 $n$ 的最小值为 $14$；使得 $b_n\geqslant 2016$ 的 $n$ 的最小值为 $23$．
题目
答案
解析
备注
