如图，三棱锥 $A-BCD$ 的顶点 $B,C,D$ 在平面 $\alpha$ 内，$CA=AB=BC=CD=DB=2$，$AD=\sqrt 6$．若将该三棱锥以 $BC$ 为轴转动，到点 $A$ 落在平面 $\alpha$ 内为止，则 $A,D$ 两点所经过的路程之和是 ．
【难度】
【出处】
2014年第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
$\sqrt 3\pi$
【解析】
取 $BC$ 中点 $O$，连接 $AO,DO$．因为 $\triangle{ABC},\triangle{BCD}$ 均是边长为 $2$ 的等边三角形，所以$$AO=DO=\sqrt 3,$$又因为 $AD=\sqrt 6$，所以$$AO\perp DO,$$结合 $AO\perp BC$，$DO\perp BC$ 知，$A-BC-D$ 为直二面角，所以三棱锥以 $BC$ 为轴转动至 $A$ 落入平面 $\alpha$ 内部的过程中，设 $S$ 为 $A,D$ 两点经过的路程之和，则$$S=\dfrac 12 \cdot 2\pi\cdot \sqrt 3=\sqrt 3\pi.$$
题目
答案
解析
备注
