设 $f(x)$ 的 $\mathbb R$ 上的减函数，且 $f(0)=3$，$f(3)=-1$．已知 $P=\{x\mid |f(x+t)-1|<2\}$，$Q=\{x\mid f(x)<-1\}$，若 $P$ 是 $Q$ 的真子集，则实数 $t$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
2014年第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
$(-\infty,-3]$
【解析】
由 $|f(x+t)-1|<2$，可得$$-1<f(x+t)<3,$$所以$$f(3)<f(x+t)<f(0),$$结合 $f(x)$ 为 $\mathbb R$ 上的减函数得$$0<x+t<3,$$所以$$-t<x<3-t,$$即$$P=\{x\mid -t<x<3-t\}.$$同理，由 $f(x)<-1$，得$$f(x)<f(3),$$所以$$x>3,$$即$$Q=\{x\mid x>3\}.$$因为 $P\subsetneqq Q$，所以$$-t\geqslant 3,$$即 $t$ 的取值范围为 $(-\infty,-3]$．
题目
答案
解析
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