若不等式$$2kx^2>(x-2)^2$$恰有 $4$ 个整数解，则恰有 $4$ 个整数 $x$，使得函数 $f(x)=2kx^2$ 的图象在函数 $g(x)=(x-2)^2$ 的图象的上方．显然 $k>0$，如图所示：当 $0<2k\leqslant 1$ 时，整数解应为 $2,3,4,5$，则$$\begin{cases}0<2k<1,\\ f(5)>g(5),\\ f(6)\leqslant g(6),\end{cases}$$即$$\begin{cases}1<k<\dfrac 12,\\ 50k>9,\\ 72k\leqslant 16,\end{cases}$$解得$$\dfrac{9}{50}<k\leqslant \dfrac 29.$$当 $2k>1$ 时，整数解应为 $1,2,3,4$，则$$\begin{cases}2k>1,\\f(4)>g(4),\\ f(5)\leqslant g(5),\end{cases}$$即$$\begin{cases}k>\dfrac 12,\\ 32k>4,\\ 50k\leqslant 9,\end{cases}$$不等式组无解．
综上，$k$ 的取值范围是 $\left(\dfrac{9}{50},\dfrac 29\right]$．