如图所示,$AB=6$,$BC=8$,$CA=10$.$P$ 为 $\triangle{ABC}$ 内部一点,过点 $P$ 的直线 $DE,FG,IH$ 分别平行于 $AB,BC,CA$,且 $DE=FG=IH=d$,则 $d$ 的值是
【难度】
【出处】
2014年第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛高一(二试)
【标注】
【答案】
$\dfrac{240}{47}$
【解析】
因为 $DE,FG,IH$ 分别平行于 $AB,BC,CA$,且$$AB=6,BC=8,CA=10,DE=FG=IH=d,$$所以\[\begin{cases}\dfrac{d}{10}=\dfrac{BH}{8}=\dfrac{BI}{6},\\\dfrac{d}{6}=\dfrac{CD}{10}=\dfrac{CE}{8},\\\dfrac{d}{8}=\dfrac{AF}{6}=\dfrac{AG}{10},\end{cases}\]所以$$BH=\dfrac 45 d,BI=\dfrac 35 d,CE=\dfrac 43d,AF=\dfrac34 d, $$因为$$\dfrac{EH}{BH}=\dfrac{PE}{BI},$$而\[\begin{split}&{\begin{split}EH&=BH-BE\\&=BH-(8-EC)\\&=\dfrac{32}{5}d-8,\end{split}}\\&{\begin{split}PE&=BF\\&=AB-AF\\&=6-\dfrac 34 d,\end{split}}\end{split}\]所以$$\dfrac{\dfrac{32d}{5}-8}{\dfrac 45d}=\dfrac{6-\dfrac 34 d}{\dfrac 35 d},$$解得$$d=\dfrac{240}{47}.$$
题目 答案 解析 备注
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