已知 $x_1,x_2$ 是方程 $x^2-m^2x+n=0$ 的两个实数根，$y_1,y_2$ 是方程 $y^2-3my+6=0$ 的两个实数根，其中 $m,n$ 是常数，且 $x_1+y_1=2$，$x_2+y_2=2$，则 $8m+n=$ ．
【难度】
【出处】
2014年第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
因为 $x_1,x_2$ 是方程$$x^2-m^2x+n=0$$的两个根，所以$$\begin{cases}x_1+x_2=m^2,\\ x_1x_2=n,\\ m^4-4n\geqslant 0.\end{cases}$$同理 $y_1,y_2$ 是方程$$y^2-3my+6=0$$的两个根，所以$$\begin{cases}y_1+y_2=3m,\\ y_1y_2=6,\\ 9m^2-24\geqslant 0.\end{cases}$$又因为$$x_1+y_1=2,x_2+y_2=2,$$所以\[\begin{split}(x_1+x_2)+(y_1+y_2)=m^2+3m=4,\end{split}\]所以$$m=-4.$$进而可得\[\begin{split}x_1x_2&=(2-y_1)(2-y_2)\\&=4-2(y_1+y_2)+y_1y_2\\&=34,\end{split}\]所以$$n=34,$$故$$8m+n=2.$$
题目
答案
解析
备注
