已知一列数：$1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,1,\cdots $，它的各项若不是 $1$ 就是 $2$，并且在第 $k$ 个 $1$ 和第 $k+1$ 个 $1$ 之间有 $2k-1$ 个 $2$，那么，前 $2014$ 个数的和为 ．
【难度】
【出处】
2014年第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$3983$
【解析】
考虑第 $k$ 个 $1$ 及之前所有数字的个数 $M(k)$，则\[\begin{split}M(k)&=k+(1+3+\cdots +(2k-3))\\&=k+(k-1)^2,\end{split}\]当 $k=45$ 时，$$M(45)=45+(45-1)^2=1981,$$当 $k=46$ 时，$$M(46)=46+(46-1)^2=2017,$$因此前 $2014$ 个数中有 $45$ 个 $1$，且第 $45$ 个 $1$ 后面有 $33$ 个 $2$．设前 $2014$ 个数的和为 $S$，则\[\begin{split}S&=45+2\cdot \dfrac{44(1+87)}{2}+2\cdot 33\\&=3983.\end{split}\]
题目
答案
解析
备注
