如图所示：因为圆 $O$ 半径为 $2$，$AB=CD$，且 $O$ 到 $AB,CD$ 的距离均为 $1$，所以$$AB=CD=2\sqrt{2^2-1^2}=2\sqrt 3,$$且$$\angle{AOB}=\angle{COD}=\dfrac{2\pi}{3},$$所以$$\angle{AOD}+\angle{BOC}=\dfrac {2\pi}{3}.$$设 $\angle{AOD}=\theta$（$0<\theta<\dfrac{2\pi}{3}$），四边形 $ABCD$ 的面积为 $S$，则\[\begin{split}S&=2\cdot \dfrac 12 \cdot 2\cdot 2 \cdot \sin{\dfrac{2\pi}{3}}+\dfrac 12 \cdot 2\cdot 2\cdot \sin \theta+\dfrac 12 \cdot 2\cdot 2\cdot \sin\left(\dfrac{2\pi}{3}-\theta\right)\\&=2\sqrt 3+2\left(\sin \theta+\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}-\theta\right)\right)\\&=2\sqrt 3+2\sqrt 3\sin\left(\theta+\dfrac {\pi}{6}\right).\end{split}\]因为 $0<\theta<\dfrac {\pi}{6}$，所以$$\dfrac 12<\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{6}\right)\leqslant 1,$$因此$$3\sqrt 3<S\leqslant 4\sqrt 3.$$