若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-6x+n=0$ 有两个不同的正整数解，则自然数 $n=$ ．
【难度】
【出处】
2014年第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$5$；$8$
【解析】
因为方程$$x^2-6x+n=0$$有两个不同的正整数解，设为 $x_1,x_2$，所以$$\begin{cases}x_1+x_2=6,\\ x_1x_2=n,\\x_1,x_2\in \mathbb N^*,\\ 36-4n>0.\end{cases}$$所以 $(x_1,x_2)$ 可取 $(1,5),(2,4),(5,1),(4,2)$，均满足$$n=x_1x_2<9,$$所以$$n=5\lor n=8.$$
题目
答案
解析
备注
