已知 $O$ 是坐标原点，过点 $A(2,1)$ 的直线与 $x$ 轴正半轴交于点 $C$，与 $y$ 轴正半轴交于点 $D$，则 $\triangle{OCD}$ 的面积的最小值是 ，此时 $\triangle{OCD}$ 的外接圆的面积是 ．
【难度】
【出处】
2014年第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
$4$；$5\pi$
【解析】
设 $C(a,0)$，$D(0,b)$，$a,b>0$，则过点 $A(2,1)$ 的直线方程满足$$\dfrac 2a+\dfrac 1b=1,$$因为$$\dfrac 2a+\dfrac 1b\geqslant 2\sqrt{\dfrac 2a\cdot \dfrac 1b},$$所以$$ab\geqslant 8,$$因此$$S_{\triangle{OCD}}=\dfrac 12 ab \geqslant 4,$$当且仅当$$\dfrac 2a=\dfrac 1b=\dfrac 12,$$即 $a=4,b=2$ 时，$S_{\triangle{OCD}}$ 取得最小值 $4$，此时 $\triangle{OCD}$ 外接圆的直径$$CD=\sqrt{a^2+b^2}=2\sqrt 5,$$因此其外接圆的面积为 $5\pi$．
题目
答案
解析
备注
