先进行常规的转化，根据已知条件，有$$\left(2x-\dfrac 1y\right)^2=\left(5+\dfrac 2y\right)\left(1-\dfrac 2y\right).$$此时可以考虑换元，令 $2x=m$，$\dfrac 1y=n$，则问题转化为求 $\dfrac{m+n}2$ 的最大值，而条件转化为$$(m-n)^2=(5+2n)(1-2n),$$即$$m^2+5n^2-2mn+8n-5=0.$$接下来可以考虑判别式法，但是估计运算量不小．
怎么办呢？
分析刚才换元中的不足之处，有两点：
① 只是简单替换，左右两边还是需要展开；
② 右边有点像平方差公式，没有利用好．
因此先换元 $\dfrac 2y=n-2$ 处理右边，此时$$\left(5+\dfrac 2y\right)\left(1-\dfrac 2y\right)=(3+n)(3-n)=9-n^2,$$而直接设 $2x-\dfrac 1y=m$ 处理左边，此时问题转化为求$$\dfrac 12\left(2x+\dfrac 1y\right)=\dfrac 12(m+n-2)$$的最大值，条件转化为$$m^2+n^2=9,$$其中 $m+\dfrac 12n-1>0$ 且 $n>2$．
此时$$\dfrac 12(m+n-2)\leqslant\sqrt{\dfrac{m^2+n^2}2}-1=\dfrac{3\sqrt 2}2-1,$$等号当且仅当 $m=n=\dfrac{3}{\sqrt 2}$ 时取得．因此所求的最大值为 $\dfrac{3\sqrt 2}2-1$．