设 $a,b,c$ 为实数，$a,c\ne 0$，方程 $ax^2+bx+c=0$ 的两个虚数根 $x_1,x_2$ 满足 $\dfrac{x_1^2}{x_2}$ 为实数，则 $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{2015}\left(\dfrac{x_1}{x_2}\right)^k$ 等于 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年北京大学博雅计划试题
【标注】
【答案】
B
【解析】
由于一元二次方程的虚数根必然共轭，因此可设 $x_1=r(\cos\theta+{\mathrm i}\sin\theta)$，$x_2=r(\cos\theta-{\mathrm i}\sin\theta)$，从而$$\dfrac{x_1^2}{x_2}=r(\cos 3\theta+{\mathrm i}\sin 3\theta)$$为实数，进而可得 $\theta=\dfrac{k{\mathrm \pi}}3$（$k\in \mathbb Z$）．于是$$\dfrac{x_1}{x_2}=\cos\dfrac{2k{\mathrm \pi}}3+{\mathrm i}\sin\dfrac{2k{\mathrm \pi}}3,$$进而$$\sum\limits_{k=0}^{2015}\left(\dfrac{x_1}{x_2}\right)^k=\dfrac{1-\left(\dfrac{x_1}{x_2}\right)^{2016}}{1-\dfrac{x_1}{x_2}}=0.$$
题目
答案
解析
备注
