在矩形 $ABCD$ 中，$AB=2$，$AD=4$，点 $E$ 在线段 $AD$ 上且 $AE=3$，现分别沿 $BE,CE$ 将 $\triangle ABE,\triangle DCE$ 翻折，使点 $D$ 落在线段 $AE$ 上记为 $D'$，则此时二面角 $D'-EC-B$ 的余弦值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac 78$
【解析】
在线段 $AE$ 上取点 $F$，使 $EF=DE=1$，则折叠后 $D$ 点与 $F$ 点重合．接下来需要分析 $D'$ 在平面 $ECB$ 上投影的位置．
过 $D$ 垂直于 $CE$ 的直线为 $BD$，因此折叠后的三角形 $D'GB$ 垂直于 $CE$，进而 $\angle D'GB$ 为所求．
由余弦定理可得$$\cos\angle D'GB=\dfrac{D'G^2+BG^2-BD'^2}{2\cdot D'G\cdot BG},$$在折叠前的图形中，即为$$\cos\angle D'GB=\dfrac{DG^2+BG^2-BF^2}{2\cdot DG\cdot BG}=\dfrac 78,$$因此所求余弦值为 $\dfrac 78$．
事实上，点 $D'$ 在平面 $EBC$ 上的投影 $H$ 是在折叠前的矩形中 $BD$ 与过 $F$ 的 $BE$ 的垂线的交点，如图．
过 $D$ 垂直于 $CE$ 的直线为 $BD$，因此折叠后的三角形 $D'GB$ 垂直于 $CE$，进而 $\angle D'GB$ 为所求．
由余弦定理可得$$\cos\angle D'GB=\dfrac{D'G^2+BG^2-BD'^2}{2\cdot D'G\cdot BG},$$在折叠前的图形中，即为$$\cos\angle D'GB=\dfrac{DG^2+BG^2-BF^2}{2\cdot DG\cdot BG}=\dfrac 78,$$因此所求余弦值为 $\dfrac 78$．事实上，点 $D'$ 在平面 $EBC$ 上的投影 $H$ 是在折叠前的矩形中 $BD$ 与过 $F$ 的 $BE$ 的垂线的交点，如图．
题目
答案
解析
备注
