如图，$AB$ 是圆 $O$ 的直径，$SA$ 与圆 $O$ 所在的平面垂直且 $SA=AB=2$．$C$ 为圆 $O$ 上不同于 $A,B$ 的点，$M,N$ 分别为 $A$ 在线段 $SB,SC$ 上的投影．当三棱锥 $S-AMN$ 的体积最大时，$SC$ 与平面 $ABC$ 所成角的正弦值是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac {\sqrt 3}{2}$
【解析】
显然 $M$ 点为定点（线段 $SB$ 的中点），因此问题的关键在于确定 $N$ 点的轨迹．
根据题意有\[\left.\begin{split}\left.\begin{split} SA\perp BC \\ AC\perp BC\end{split}\right\}\Rightarrow BC\perp SAC\Rightarrow BC\perp AN \\ SC\perp AN\end{split} \right\}\Rightarrow AN\perp SBC,\]因此 $AN\perp NM$，即 $N$ 点的轨迹是以 $AM$ 为直径的圆（不包含 $A,M$ 两点），如图．
此时三棱锥 $S-AMN$ 的体积$$V=\dfrac 16 AN\cdot NM\cdot SM=\dfrac{\sqrt 2}6\cdot AN\cdot NM,$$且 $AN^2+NM^2=AM^2=2$．于是当 $AN=NM=1$ 时，三棱锥 $S-AMN$ 的体积最大，此时 $\angle ASN=\dfrac{\pi}6$，因此所求正弦值为 $\cos\dfrac{\pi}6=\dfrac{\sqrt 3}2$．
根据题意有\[\left.\begin{split}\left.\begin{split} SA\perp BC \\ AC\perp BC\end{split}\right\}\Rightarrow BC\perp SAC\Rightarrow BC\perp AN \\ SC\perp AN\end{split} \right\}\Rightarrow AN\perp SBC,\]因此 $AN\perp NM$，即 $N$ 点的轨迹是以 $AM$ 为直径的圆（不包含 $A,M$ 两点），如图．
此时三棱锥 $S-AMN$ 的体积$$V=\dfrac 16 AN\cdot NM\cdot SM=\dfrac{\sqrt 2}6\cdot AN\cdot NM,$$且 $AN^2+NM^2=AM^2=2$．于是当 $AN=NM=1$ 时，三棱锥 $S-AMN$ 的体积最大，此时 $\angle ASN=\dfrac{\pi}6$，因此所求正弦值为 $\cos\dfrac{\pi}6=\dfrac{\sqrt 3}2$．
题目
答案
解析
备注
