考虑以点 $A$ 为圆心，$r$ 为半径的圆与双曲线交于 $4$ 个点 $M,N,P,Q$，且 $M,N$ 位于 $x$ 轴上方，$P,Q$ 位于 $x$ 轴下方，点 $M$ 与点 $Q$ 的横坐标相同，点 $N$ 与点 $P$ 的横坐标相同，点 $M$ 的横坐标大于点 $N$ 的横坐标．线段 $MN$ 的中点为 $H$，双曲线的右顶点为 $G$，如图．显然 $\triangle MAQ$ 和 $\triangle NAP$ 均可通过调整 $r$ 变为 $A$ 所对的边与 $x$ 轴垂直的等边三角形，且调整成的等边三角形相同．考虑到图形的对称性，只需要研究 $\triangle MAN$ 与 $\triangle NAQ$ 是否能够通过调整变为等边三角形．
联立双曲线 $x^2-y^2=1$ 与圆 $(x-m)^2+y^2=r^2$，有$$r^2=2\left(x-\dfrac 12m\right)^2+\dfrac {m^2}2-1,$$因此点 $H$ 的横坐标为定值 $\dfrac m2$．设双曲线上横坐标为 $\dfrac m2$ 的点为 $E$，那么直线 $MN$ 的极限位置即双曲线在点 $E$ 处的切线．记 $\angle EAG=\theta$，当 $N$ 与 $G$ 重合时，$\angle MAN=\varphi$．
当点 $N$ 从 $E$ 处运动到 $G$ 处时，$\angle MAN$ 从 $0$ 单调递增变化到 $\varphi$；而 $\angle NAQ$ 满足$$\angle NAQ=2\theta -\angle EAN+\angle EAM=2\theta-2\angle EAH,$$由于 $H$ 点的纵坐标递减，因此 $\angle EAH$ 单调递增，因此 $\angle NAQ$ 从 $2\theta$ 单调递减变化到 $\varphi$．
由于 $\angle MAN$ 与 $\angle NAQ$ 的变化区间无公共部分，因此当 $\angle MAN$ 和 $\angle NAQ$ 变化的区间的并集 $\left(0,2\theta\right)$ 中包含 $\dfrac{\pi}3$ 时符合题意，也即问题等价于保证 $\theta>\dfrac{\pi}6$，也即 $E$ 处切线的斜率小于 $\sqrt 3$．
由于 $y=\sqrt{x^2-1}$ 的导数 $y'=\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}$，于是只需要$$\dfrac{\dfrac m2}{\sqrt{\left(\dfrac m2\right)^2-1}}<\sqrt 3,$$解得 $m>\sqrt 6$．