如图，$\odot O$ 是等腰梯形 $ABCD$ 的内切圆，$M$ 是切点，$AM,BM$ 分别与 $\odot O$ 交于点 $P,T$，则 $\dfrac{AM}{AP}+\dfrac{BM}{BT}$ 的值等于 ．
【难度】
【出处】
2014年第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$10$
【解析】
设 $BC$ 与内切圆切于点 $N$，如图．
由切割线定理$$BT\cdot BM=BN^2,$$又\[\begin{split}BM^2&=BC^2+MC^2-2BC\cdot CM\cdot \cos C\\
&=4BN^2+BN^2-2\cdot 2BN\cdot BN\cdot \cos C\\
&=BN^2\cdot \left(5-4\cos C\right),\end{split}\]两式相比即得$$\dfrac{BM}{BT}=5-4\cos C.$$类似的，$$\dfrac{AM}{AP}=5-4\cos D,$$于是所求值为 $10$．
由切割线定理$$BT\cdot BM=BN^2,$$又\[\begin{split}BM^2&=BC^2+MC^2-2BC\cdot CM\cdot \cos C\\&=4BN^2+BN^2-2\cdot 2BN\cdot BN\cdot \cos C\\
&=BN^2\cdot \left(5-4\cos C\right),\end{split}\]两式相比即得$$\dfrac{BM}{BT}=5-4\cos C.$$类似的，$$\dfrac{AM}{AP}=5-4\cos D,$$于是所求值为 $10$．
题目
答案
解析
备注
