当 $0<\theta\leqslant\dfrac{\pi}{2}$ 时，不等式 $\cos2\theta+2a\sin\theta-2\leqslant0$ 恒成立，则参数 $a$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
2014年第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$\left(-\infty,\sqrt2\right]$
【解析】
利用二倍角公式，题意即当 $\theta\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ 时，$$-2\sin^2\theta+2a\sin\theta-1\leqslant0,$$恒成立，参变分离即$$2a\leqslant\dfrac{2\sin^2\theta}{\sin\theta}=2\sin\theta+\dfrac{1}{\sin\theta},$$恒成立，由均值不等式可知，$$2\sin\theta+\dfrac{1}{\sin\theta}\geqslant2\sqrt2,$$当且仅当 $\sin\theta=\dfrac{\sqrt2}{2}$ 时，等号成立，因此 $a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,\sqrt2\right]$．
题目
答案
解析
备注
