若直线 $l$ 与椭圆 $x^2+\dfrac{y^2}{4}=1$ 相切，则 $l$ 与坐标轴所围成的三角形的面积的最小值是 ．
【难度】
【出处】
2014年第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
设椭圆上一点 $(x_0,y_0)$，则过该点的切线 $l$ 为$$4x_0x+y_0y=4,$$且满足 $4x_0^2+y_0^2=4$，则 $l$ 与坐标轴围成的三角形面积为$$S=\dfrac12\cdot\left|\dfrac{4}{y_0}\right|\cdot\left|\dfrac{1}{x_0}\right|=\dfrac{2}{|x_0y_0|}\geqslant4\cdot\dfrac{2}{(2x_0)^2+y_0^2}=2.$$当且仅当 $2x_0=y_0=\pm\sqrt2$ 时，等号成立．
题目
答案
解析
备注
