$\triangle ABC$ 的外接圆半径为 $2$，三个内角满足 $2\sin^2\dfrac{A+B}{2}-\cos2C=1$，则 $C=$ ，$\triangle ABC$ 的面积的最大值是 ．
【难度】
【出处】
2014年第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
$120^\circ$，$\sqrt3$
【解析】
利用二倍角公式，题中等式化为$$\sin(A+B)-\cos2C=0,$$再结合 $A+B+C=\pi$，则$$2\sin^2C+\sin C-1=0,$$解得 $C=120^\circ$，再结合外接圆半径 $R=2$，根据正弦定理，得$$c=2R\sin C=2\sqrt3,$$结合余弦定理 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$，得$$a^2+b^2+ab=12\geqslant 3ab,$$因此，$$S_{\triangle ABC}=\dfrac12ab\sin C=\dfrac{\sqrt3}{4}ab\leqslant\sqrt3.$$
题目
答案
解析
备注
