设点 $M$ 在 $\triangle ABC$ 内，且 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\sqrt3$，$\angle BAC=30^\circ$，若 $\triangle MBC$，$\triangle MCA$，$\triangle MAB$ 的面积分别是 $\dfrac12,x,y$，则 $\dfrac1x+\dfrac4y$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
2014年第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
$18$
【解析】
由题可得$$S_{\triangle ABC}=\dfrac12\cdot|AB|\cdot|AC|\sin A=1,$$所以 $x+y=\dfrac12$，则\[\begin{split}\dfrac1x+\dfrac4y&=2(x+y)\left(\dfrac1x+\dfrac4y\right)\\&=2\left(5+\dfrac{y}{x}+\dfrac{4x}{y}\right)\\&\geqslant18,\end{split}\]因此 $\dfrac1x+\dfrac4y$ 的最小值为 $18$．
题目
答案
解析
备注
