已知 $\mathrm{Rt}\triangle ABC$ 中，$\angle A=30^\circ$，$S_{\triangle ABC}=1$，用与 $\angle A$ 两边都相交的直线 $m$ 将 $\triangle ABC$ 的面积二等分，则直线 $m$ 在 $\triangle ABC$ 内的线段的最小值是 ．
【难度】
【出处】
2014年第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
$\sqrt3-1$
【解析】
根据三角形面积公式，有$$S_{\triangle ABC}=\dfrac12\cdot|AB|\cdot|AC|\cdot\sin A=1,$$因此，$|AB|\cdot|AC|=4$，设直线 $m$ 与 $AB,AC$ 分别交于点 $D,E$，则有$$|AD|\cdot|AE|=2,$$因此，利用向量换底公式，有$$\left|\overrightarrow{DE}\right|=\left|\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}\right|=\sqrt{\left|\overrightarrow{AD}\right|^2+\left|\overrightarrow{AE}\right|^2-2\sqrt3}\geqslant\sqrt3-1,$$当且仅当 $|AD|=|AE|=\sqrt2$ 时，等号成立，再结合 $\triangle ABC$ 为直角三角形，可得 $AC>AB=\sqrt2\cdot\sqrt[4]{3}>\sqrt2$，符合题意．
综上，线段长度的最小值为 $\sqrt3-1$．
综上，线段长度的最小值为 $\sqrt3-1$．
题目
答案
解析
备注
