在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知抛物线 $C:y^2=2px(p>0)$，过点 $A(-2,-4)$ 且斜率为 $1$ 的直线与 $C$ 相交于点 $P_1$ 和 $P_2$，若 $|AP_1|,|P_1P_2|,|AP_2|$ 成等比数列，则 $C$ 的方程是 ．
【难度】
【出处】
2014年第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
$y^2=2x$
【解析】
设 $P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)$，且 $x_1<x_2$，则 $|AP_1|,|P_1P_2|,|AP_2|$ 等比即$$y_1+4,y_2-y_1,y_2+4,$$成等比数列，整理得$$(y_1+y_2)^2-4(y_1+y_2)-5y_1y_2-16=0,$$由题直线 $l:y=x-2$，与抛物线联立，得$$y^2-2py-4p=0,$$因此，韦达定理为$$\begin{cases}y_1+y_2=2p,\\y_1y_2=-4p,\end{cases}$$代入上式，并化简得$$p^2+3p-4=0,$$因此，$p=1$，故 $C$ 的方程为 $y^2=2x$．
题目
答案
解析
备注
