不妨设 $c$ 为斜边，即 $a^2+b^2=c^2$，其中 $a,b,c>0$．令 $a=c\cos\theta$，$b=c\sin\theta$，则$$\begin{split} \dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}=&\dfrac{\sin^3\theta+\cos^3\theta+1}{\sin\theta\cdot \cos\theta}\\=&\dfrac{(\sin\theta+\cos\theta)(\sin^2\theta-\sin\theta\cdot\cos\theta+\cos^2\theta)+1}{\sin\theta\cdot\cos\theta}.\end{split}$$令 $x=\sin\theta+\cos\theta$，$x\in \left(1,\sqrt 2\right]$，则 $\sin\theta\cdot\cos\theta = \dfrac{x^2-1}2$，且$$\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}=\dfrac{-x^2+x+2}{x-1}=-x+\dfrac{2}{x-1},$$右侧函数显然单调递减，因此原式的最小值为 $2+\sqrt 2$．