设实数 $a,b,c$ 满足 $a,b,c\geqslant 1$ 且 $ab\sqrt{c-1}+ac\sqrt{b-1}+bc\sqrt{a-1}=\dfrac 32abc$，则 $a,b,c$ 之间的大小关系是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年北京大学生命科学冬令营试卷数学部分
【标注】
【答案】
B
【解析】
题中等式可以变形为$$\sqrt{\dfrac{c-1}{c^2}}+\sqrt{\dfrac{b-1}{b^2}}+\sqrt{\dfrac{a-1}{a^2}}=\dfrac 32,$$而 $\sqrt{\dfrac{c-1}{c^2}}=\sqrt{\dfrac 14-\left(\dfrac 1c-\dfrac 12\right)^2}\leqslant \dfrac 12$，所以只能有$$\sqrt{\dfrac{c-1}{c^2}}=\sqrt{\dfrac{b-1}{b^2}}=\sqrt{\dfrac{a-1}{a^2}}=\dfrac 12,$$解得 $a=b=c=2$．
题目
答案
解析
备注
