查看数据源：5909927838b6b40008d7bb88
" $\triangle ABC$ 为锐角三角形"是" $\sin{A}+\sin{B}+\sin{C}>\cos{A}+\cos{B}+\cos{C}$ "的 \((\qquad)\)
A: 充分非必要条件
B: 必要非充分条件
C: 充分必要条件
D: 既不充分也不必要条件
【难度】
【出处】
2016年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
  • 数学竞赛
    >
    三角
    >
    解三角形
  • 题型
    >
    三角
    >
    判断三角形的形状
【答案】
A
【解析】
充分性
方法一若 $\triangle ABC$ 为锐角三角形，因为\[0<\dfrac{\pi}{2}-B<A<\dfrac{\pi}{2},\]所以\[\sin A>\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-B\right)=\cos B,\]同理可得 $\sin B>\cos C$，$\sin C>\cos A$，故\[\sin{A}+\sin{B}+\sin{C}>\cos{A}+\cos{B}+\cos{C}.\]方法二若 $\triangle ABC$ 为锐角三角形，因为\[\sin B+\sin C>\sin B+\sin\left(\dfrac{\pi}2-B\right)=\sin B+\cos B>1,\]类似的，有 $\sin C+\sin A>1$，$\sin A+\sin B>1$，于是\[\begin{split} \sin A+\sin B+\sin C&=\sin (B+C)+\sin (C+A)+\sin (A+B)\\
&=\sum_{cyc}\left(\sin B+\sin C\right)\cos A\\
&>\cos A+\cos B+\cos C.\end{split}\]非必要性
当 $A=\dfrac{\pi}2$，$B=C=\dfrac{\pi}4$ 时，不等式成立，而 $\triangle ABC$ 并非锐角三角形．
题目 答案 解析 备注
0.119063s