设定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x),g(x)$ 满足：
① $g(0)=1$；
② 对任意实数 $x_1,x_2$，$g \left(x_1-x_2\right)=f\left(x_1\right)f\left(x_2\right)+g\left(x_1\right)g\left(x_2\right)$；
③ 存在大于零的常数 $\lambda$，使得 $f(\lambda)=1$，且当 $x\in(0,\lambda)$ 时，$f(x)>0$，$g(x)>0$，
则 \((\qquad)\)
① $g(0)=1$；
② 对任意实数 $x_1,x_2$，$g \left(x_1-x_2\right)=f\left(x_1\right)f\left(x_2\right)+g\left(x_1\right)g\left(x_2\right)$；
③ 存在大于零的常数 $\lambda$，使得 $f(\lambda)=1$，且当 $x\in(0,\lambda)$ 时，$f(x)>0$，$g(x)>0$，
则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
【答案】
ABD
【解析】
对于选项A，取 $x_1=x_2=0$，由\[g(0-0)=f^2(0)+g^2(0),\]可知 $f(0)=0$．
取 $x_1=x_2=\lambda$，由\[g(\lambda-\lambda)=f^2(\lambda)+g^2(\lambda),\]可知 $g(\lambda)=0$．故A选项正确．
对于选项B，取 $x_1=x_2=x$，由\[g(x-x)=f^2(x)+g^2(x),\]可知 $f^2(x)+g^2(x)=1$．又因为当 $x\in(0,\lambda)$ 时，$f(x)>0$，$g(x)>0$，所以\[\left[f(x)+g(x)\right]^2=f^2(x)+g^2(x)+2f(x)g(x)>1,\]进而有 $f(x)+g(x)>1$，故B选项正确．
对于选项C，因为\[\left|f(x)\cdot g(x)\right|\leqslant \dfrac{f^2(x)+g^2(x)}{2}=\dfrac{1}{2},\]故C选项错误．
对于选项D，取 $x_1=\lambda$，$x_2=\lambda-x$，则\[g(x)=f(\lambda)f(\lambda-x)+g(\lambda)g(\lambda-x)=f(\lambda-x),\]故D选项正确．
取 $x_1=x_2=\lambda$，由\[g(\lambda-\lambda)=f^2(\lambda)+g^2(\lambda),\]可知 $g(\lambda)=0$．故A选项正确．
对于选项B，取 $x_1=x_2=x$，由\[g(x-x)=f^2(x)+g^2(x),\]可知 $f^2(x)+g^2(x)=1$．又因为当 $x\in(0,\lambda)$ 时，$f(x)>0$，$g(x)>0$，所以\[\left[f(x)+g(x)\right]^2=f^2(x)+g^2(x)+2f(x)g(x)>1,\]进而有 $f(x)+g(x)>1$，故B选项正确．
对于选项C，因为\[\left|f(x)\cdot g(x)\right|\leqslant \dfrac{f^2(x)+g^2(x)}{2}=\dfrac{1}{2},\]故C选项错误．
对于选项D，取 $x_1=\lambda$，$x_2=\lambda-x$，则\[g(x)=f(\lambda)f(\lambda-x)+g(\lambda)g(\lambda-x)=f(\lambda-x),\]故D选项正确．
题目
答案
解析
备注
