已知数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的各项均为正整数，其前 $n$ 项和为 ${S_n}$，若 $a_{n+1}= \begin{cases}\dfrac{a_n}{2},&2\mid a_n,\\ 3a_n+1,&2\nmid a_n,\end{cases} $ 且 ${S_3} = 29$，则 $a_1=$ ；${S_{3n}} =$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$5$；$7n+22$
【解析】
由于 $a_n$ 是奇数时 $a_{n+1}$ 为偶数，考虑到 $a_1+a_2+a_3$ 为奇数，因此 $a_1$，$a_2$，$a_3$ 分别为奇数，偶数，偶数；或者偶数，偶数，奇数；或者偶数，奇数，偶数．
情形一 $a_1$，$a_2$，$a_3$ 分别为奇数，偶数，偶数．由$$a_1+(3a_1+1)+\dfrac {3a_1+1}{2}=29,$$解得 $a_1=5$；
情形二 $a_1$，$a_2$，$a_3$ 分别为偶数，偶数，奇数．由$$a_1+\dfrac {a_1}{2}+\dfrac {a_1}{4}=29,$$无整数解；
情形三 $a_1$，$a_2$，$a_3$ 分别为偶数，奇数，偶数．由$$a_1+\dfrac {a_1}{2}+\left(\dfrac {3a_1}{2}+1\right)=29,$$无整数解．
因此 $a_1=5$．
$\{a_n\}$ 为 $5,16,8,4,2,1,4,2,1,\cdots$，因此 $S_n=7n+22$．
因此 $a_1=5$．
$\{a_n\}$ 为 $5,16,8,4,2,1,4,2,1,\cdots$，因此 $S_n=7n+22$．
题目
答案
解析
备注
