传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数 $ 1,3,6,10,\cdots $ 记为数列 $ \left\{a_n\right\} $，将可被 $ 5 $ 整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列 $ \left\{b_n\right\} $，可以推测：
（1）$ b_{2012 }$ 是数列 $ \left\{a_n\right\} $ 中的第 项；
（2）$ b_{2k-1}= $ （用 $ k $ 表示）．
（1）$ b_{2012 }$ 是数列 $ \left\{a_n\right\} $ 中的第
（2）$ b_{2k-1}= $
【难度】
【出处】
2012年高考湖北卷（文）
【标注】
【答案】
$ 5 030 $；${\dfrac{5k\left( 5k-1 \right)}{2}} $
【解析】
由已知可知，三角形数 $ 1,3,6,10,\cdots $ 的一个通项公式为 $ a_n={\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}}$，
写出其若干项来寻找规律：$ 1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,\cdots$，
其中能被 $ 5 $ 整除的为 $ 10,15,45,55,105,120,\cdots$，
即 $ b_1=a_4,b_2=a_5,b_3=a_9,b_4=a_{10},b_5=a_{14},b_6=a_{15},\cdots$，
由上述规律可猜想：$ b_{2k}=a_{5k}={\dfrac{5k\left(5k+1\right)}{2}}$，
$b_{2k-1}=a_{5k-1}= {\dfrac{\left(5k-1\right)\left(5k-1+1\right)}{2}}={\dfrac{5k\left(5k-1\right)}{2}}, $
故 $ b_{2012}=b_{2\times 1006}=a_{5\times 1006}=a_{5030}, $
即 $ b_{2012 }$ 是数列 $ \left\{a_n\right\} $ 中的第 $ 5 030 $ 项．
写出其若干项来寻找规律：$ 1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,\cdots$，
其中能被 $ 5 $ 整除的为 $ 10,15,45,55,105,120,\cdots$，
即 $ b_1=a_4,b_2=a_5,b_3=a_9,b_4=a_{10},b_5=a_{14},b_6=a_{15},\cdots$，
由上述规律可猜想：$ b_{2k}=a_{5k}={\dfrac{5k\left(5k+1\right)}{2}}$，
$b_{2k-1}=a_{5k-1}= {\dfrac{\left(5k-1\right)\left(5k-1+1\right)}{2}}={\dfrac{5k\left(5k-1\right)}{2}}, $
故 $ b_{2012}=b_{2\times 1006}=a_{5\times 1006}=a_{5030}, $
即 $ b_{2012 }$ 是数列 $ \left\{a_n\right\} $ 中的第 $ 5 030 $ 项．
题目
答案
解析
备注
