已知 $F_1$，$F_2$ 是椭圆和双曲线的公共焦点，$P$ 是它们的一个公共点，且 $\angle{F_1PF_2}=\dfrac{\pi}{3}$，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{4\sqrt 3}{3}$
【解析】
不妨设椭圆与双曲线都是焦点在 $x$ 轴上的标准椭圆与双曲线，$P$ 为第一象限内的公共点，并记椭圆的半长轴长、半短轴长、离心率分别为 $a_1,b_1,e_1$，双曲线的半实轴长、半虚轴长、离心率分别为 $a_2,b_2,e_2$，它们的半焦距长相等，设为 $c$．
由题意知$$\begin{cases}|PF_1|+|PF_2|=2a_1,\\|PF_1|-|PF_2|=2a_2,\end{cases}$$解得$$\begin{cases}|PF_1|=a_1+a_2,\\|PF_2|=a_1-a_2.\end{cases}$$在 $\triangle{PF_1F_2}$ 中应用余弦定理得$$\dfrac 12=\dfrac {(a_1+a_2)^2+(a_1-a_2)^2-4c^2}{2(a_1+a_2)(a_1-a_2)},$$计算得$$a_1^2+3a_2^2=4c^2.$$题目中要求的是 $\dfrac {1}{e_1}+\dfrac {1}{e_2}=\dfrac {a_1}{c}+\dfrac {a_2}{c}$ 的最大值．
设 $x=\dfrac {a_1}{c},y=\dfrac{a_2}{c}$，则本题转化为已知$$x^2+3y^2=4,x>1,0<y<1,$$求 $x+y$ 的最大值．
由柯西不等式得$$x+y=1\cdot x+\dfrac {1}{\sqrt 3}\cdot {\sqrt{3}y}\leqslant \sqrt{1+\dfrac 13}\cdot\sqrt{x^2+3y^2}=\dfrac{4\sqrt 3}{3}.$$当且仅当 $x=3y=\sqrt 3$ 时取到等号．
由题意知$$\begin{cases}|PF_1|+|PF_2|=2a_1,\\|PF_1|-|PF_2|=2a_2,\end{cases}$$解得$$\begin{cases}|PF_1|=a_1+a_2,\\|PF_2|=a_1-a_2.\end{cases}$$在 $\triangle{PF_1F_2}$ 中应用余弦定理得$$\dfrac 12=\dfrac {(a_1+a_2)^2+(a_1-a_2)^2-4c^2}{2(a_1+a_2)(a_1-a_2)},$$计算得$$a_1^2+3a_2^2=4c^2.$$题目中要求的是 $\dfrac {1}{e_1}+\dfrac {1}{e_2}=\dfrac {a_1}{c}+\dfrac {a_2}{c}$ 的最大值．设 $x=\dfrac {a_1}{c},y=\dfrac{a_2}{c}$，则本题转化为已知$$x^2+3y^2=4,x>1,0<y<1,$$求 $x+y$ 的最大值．
由柯西不等式得$$x+y=1\cdot x+\dfrac {1}{\sqrt 3}\cdot {\sqrt{3}y}\leqslant \sqrt{1+\dfrac 13}\cdot\sqrt{x^2+3y^2}=\dfrac{4\sqrt 3}{3}.$$当且仅当 $x=3y=\sqrt 3$ 时取到等号．
题目
答案
解析
备注
