函数 $ f\left(x\right)=\sin \left(\omega x+\varphi \right) $ 的导函数 $ y=f ′\left(x\right) $ 的部分图象如图所示，其中，$ P $ 为图象与 $ y $ 轴的交点，$ A,C $ 为图象与 $ x $ 轴的两个交点，$ B $ 为图象的最低点．
（1）若 $ \varphi ={\dfrac{\mathrm \pi }{6}} $，点 $ P $ 的坐标为 $ \left(0,{\dfrac{3{\sqrt{3}}}{2}} \right) $，则 $ \omega = $ ；
（2）若在曲线段 $\overparen {ABC} $ 与 $ x $ 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在 $ \triangle ABC $ 内的概率为 ．
（1）若 $ \varphi ={\dfrac{\mathrm \pi }{6}} $，点 $ P $ 的坐标为 $ \left(0,{\dfrac{3{\sqrt{3}}}{2}} \right) $，则 $ \omega = $
（2）若在曲线段 $\overparen {ABC} $ 与 $ x $ 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在 $ \triangle ABC $ 内的概率为
【难度】
【出处】
2012年高考湖南卷（理）
【标注】
【答案】
$ 3 ;{\dfrac{{\mathrm \pi } }{4}} $
【解析】
（1）因为 $ f'\left( x \right)=\omega \cos \left( \omega x+\varphi\right) $，当 $ \varphi ={\dfrac{\mathrm \pi }{6}} $ 时，$ f'\left( 0\right) ={\dfrac{{\sqrt{3}}}{2}}\omega ={\dfrac{3{\sqrt{3}}}{2}} $，解得 $ \omega =3 $．
（2）$ f'\left( x \right)=\omega \cos \left( \omega x+\varphi\right) $，令 $ f'\left(x\right)=0 $，则 $ x=\dfrac{\mathrm \pi}{2\omega}-\dfrac{\varphi}{\omega}+\dfrac{k\mathrm \pi}{\omega} $，$ k\in {\mathbb{Z}} $，不妨设 $ \omega>0 $，且设 $A\left( {\dfrac{\mathrm \pi }{2\omega } - \dfrac{\varphi }{\omega },0} \right)$，$C\left( {\dfrac{\mathrm \pi }{2\omega } - \dfrac{\varphi }{\omega } + \dfrac{\mathrm \pi }{\omega },0} \right)$，
所以曲线段 $\overparen {ABC} $ 与 $ x $ 轴围成区域的面积为 $S = \left |\int_{\frac{\mathrm \pi }{2\omega } - \frac{\varphi }{\omega }}^{\frac{\mathrm \pi }{2\omega } - \frac{\varphi }{\omega } + \frac{\mathrm \pi }{\omega }} {\omega \cos \left( {\omega x + \varphi } \right)} {\mathrm{d}}x \right |= 2$．
又 $\left| {AC} \right| = \dfrac{\mathrm \pi }{\omega }$，$\left| {y_B} \right| = \omega $，所以 ${S_{\triangle ABC}}{ = }\dfrac{\mathrm \pi }{2}$，
因此，所求概率为 ${\dfrac{\mathrm \pi }{4}} $．
（2）$ f'\left( x \right)=\omega \cos \left( \omega x+\varphi\right) $，令 $ f'\left(x\right)=0 $，则 $ x=\dfrac{\mathrm \pi}{2\omega}-\dfrac{\varphi}{\omega}+\dfrac{k\mathrm \pi}{\omega} $，$ k\in {\mathbb{Z}} $，不妨设 $ \omega>0 $，且设 $A\left( {\dfrac{\mathrm \pi }{2\omega } - \dfrac{\varphi }{\omega },0} \right)$，$C\left( {\dfrac{\mathrm \pi }{2\omega } - \dfrac{\varphi }{\omega } + \dfrac{\mathrm \pi }{\omega },0} \right)$，
所以曲线段 $\overparen {ABC} $ 与 $ x $ 轴围成区域的面积为 $S = \left |\int_{\frac{\mathrm \pi }{2\omega } - \frac{\varphi }{\omega }}^{\frac{\mathrm \pi }{2\omega } - \frac{\varphi }{\omega } + \frac{\mathrm \pi }{\omega }} {\omega \cos \left( {\omega x + \varphi } \right)} {\mathrm{d}}x \right |= 2$．
又 $\left| {AC} \right| = \dfrac{\mathrm \pi }{\omega }$，$\left| {y_B} \right| = \omega $，所以 ${S_{\triangle ABC}}{ = }\dfrac{\mathrm \pi }{2}$，
因此，所求概率为 ${\dfrac{\mathrm \pi }{4}} $．
题目
答案
解析
备注
