若自然数 $k$ 使 $\dfrac{1001\times 1002 \times \cdots \times 2015\times 2016}{11^k}$ 是整数，则 $k$ 的最大值是 ．
【难度】
【出处】
2016年第二十七届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
$102$
【解析】
分子中，至少含有 $1$ 个因子 $11$ 的数有\[\begin{split}&91\cdot 11=1001,\\&92\cdot 11=1012,\\&\cdots ,\\&183\cdot 11=2013,\end{split}\]共有 $183-(91-1)=93$ 个．
其中的 $8$ 个数，即$$99\cdot 11,110\cdot 11,121\cdot 11,132\cdot 11,143\cdot 11,154\cdot 11,165\cdot 11,176\cdot 11$$中的第一个因数里又分别含有 $1,1,2,1,1,1,1,1$ 个因子 $11$，所以分子中因子 $11$ 的个数共有$$93+9=102({\text{个}}).$$故 $k$ 的最大值为 $102$．
其中的 $8$ 个数，即$$99\cdot 11,110\cdot 11,121\cdot 11,132\cdot 11,143\cdot 11,154\cdot 11,165\cdot 11,176\cdot 11$$中的第一个因数里又分别含有 $1,1,2,1,1,1,1,1$ 个因子 $11$，所以分子中因子 $11$ 的个数共有$$93+9=102({\text{个}}).$$故 $k$ 的最大值为 $102$．
题目
答案
解析
备注
