如图，在矩形 $ ABCD $ 中，$ AB={\sqrt{2}}$，$BC=2 $，点 $ E $ 为 $ BC $ 的中点，点 $ F $ 在边 $ CD $ 上，若 $ {\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AF}}={\sqrt{2}} $，则 $ {\overrightarrow {AE}}\cdot {\overrightarrow {BF}} $ 的值是 ．
【难度】
【出处】
2012年高考江苏卷
【标注】
【答案】
$ {\sqrt{2}} $
【解析】
$ {\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AF}}={\sqrt{2}}=\sqrt 2 \left|\overrightarrow{DF} \right| $，所以 $ \left|\overrightarrow{DF} \right|=1$，$\left| {\overrightarrow {CF} } \right| = \sqrt 2 - 1$，
因此\[ \begin{split}\overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {BF}& = \left({\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE} } \right)\cdot \left({\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CF} } \right)\\&= \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CF} + \overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {CF}\\& = 0 - \sqrt 2 \left({\sqrt 2 - 1} \right)+ 2 + 0 = \sqrt 2.\end{split} \]
因此\[ \begin{split}\overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {BF}& = \left({\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE} } \right)\cdot \left({\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CF} } \right)\\&= \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CF} + \overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {CF}\\& = 0 - \sqrt 2 \left({\sqrt 2 - 1} \right)+ 2 + 0 = \sqrt 2.\end{split} \]
题目
答案
解析
备注
