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设 $x=\dfrac{\pi}{24}$，则 $\dfrac{\sin{x}}{\cos{4x}\cos{3x}}+\dfrac{\sin{x}}{\cos{3x}\cos{2x}}+\dfrac{\sin{x}}{\cos{2x}\cos{x}}+\dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}=$  \((\qquad)\)
A: $\dfrac{\sqrt{3}}{6}$
B: $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
C: $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D: $\dfrac{1}{2}$
【难度】
【出处】
2016年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
  • 数学竞赛
    >
    三角
    >
    三角计算
  • 题型
    >
    三角
    >
    求三角代数式的值
  • 知识点
    >
    代数变形
    >
    代数式的形
    >
    分拆与裂项
  • 知识点
    >
    三角
    >
    三角恒等变换
    >
    和差角公式
【答案】
B
【解析】
记原式为 $m$，则\[\begin{split} m
&=\dfrac{\sin{x}}{\cos{4x}\cos{3x}}+\dfrac{\sin{x}}{\cos{3x}\cos{2x}}+\dfrac{\sin{x}}{\cos{2x}\cos{x}}+\dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}\\
&=\dfrac{\sin{(4x-3x)}}{\cos{4x}\cos{3x}}+\dfrac{\sin{(3x-2x)}}{\cos{3x}\cos{2x}}+\dfrac{\sin{(2x-x)}}{\cos{2x}\cos{x}}+\dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}\\
&=\tan 4x-\tan 3x+\tan 3x-\tan 2x+\tan 2x-\tan x+\tan x\\
&=\tan 4x\\
&=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.\end{split}\]
题目 答案 解析 备注
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