已知复数 $z$ 满足 $1\leqslant z+\dfrac 1z\leqslant 2$，则复数 $z$ 的实部的最小值为 ．
【难度】
【出处】
2017年中国科学技术大学综合评价测试数学试题（回忆版）
【标注】
【答案】
$\dfrac 12$
【解析】
根据题意有 $z+\dfrac 1z$ 是实数，从而 $z$ 或者为实数，或者模为 $1$．若 $z$ 为实数，则\[z+\dfrac 1z\geqslant 2,\]因此 $z=1$，从而只需要考虑 $|z|=1$ 的情形．此时条件为\[1\leqslant 2\cdot {\rm Re}(z)\leqslant 2,\]当 $z=\dfrac 12+\dfrac{\sqrt 3}2{\rm i}$ 时左边可以取得等号，因此复数 $z$ 的实部的最小值为 $\dfrac 12$．
题目
答案
解析
备注
