整数 $x,y$ 满足 $|x|+|y|\leqslant n$（$n\in\mathbb N$），满足条件的 $(x,y)$ 的个数为 ．
【难度】
【出处】
2017年中国科学技术大学综合评价测试数学试题（回忆版）
【标注】
【答案】
$2n^2+2n+1$
【解析】
设题中不等式表示的区域内部（不包含边界）的格点数为 $a$，边界的格点数为 $b$，其面积为 $S$，则 $b=4n$ 且 $S=2n^2$．根据皮克公式，有\[S=a+\dfrac 12b-1,\]于是可得\[a=2n^2-2n+1,\]于是所求的满足条件的格点数为\[a+b=2n^2+2n+1.\]
题目
答案
解析
备注
