题目 整数 $x,y$ 满足 $|x|+|y|\leqslant n$（$n\in\mathbb N$），满足条件的 $(x,y)$ 的个数为<nn> </nn>． 答案 $2n^2+2n+1$ 解析 按 $x$ 的绝对值分类计算，满足条件的 $(x,y)$ 的个数为\[2\sum_{k=1}^n[2(n-k)+1]+2n+1=4\sum_{k=1}^{n-1}k+4n+1=2n^2+2n+1.\] 备注 也可以记 $|x|+|y|=n$ 的整数对的个数为 $a_n$，则 $a_0=1$，$a_{n}=4n$，所以满足条件的 $(x,y)$ 数为$$1+4(1+2+\cdots+n)=2n^2+2n+1.$$